PGCD : plus grand diviseur commun
Le PGCD d’au moins deux entiers est le plus grand entier positif qui les divise tous. On l’utilise surtout pour simplifier une fraction, répartir une quantité en parts égales ou déterminer la plus grande longueur commune possible.Quand utiliser le PGCD ?
- Pour simplifier une fraction, par exemple 18/24 → 3/4 grâce au PGCD 6.
- Pour découper sans reste : rubans, carreaux, paquets, groupes identiques.
- Pour vérifier si deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1).
PPCM : plus petit multiple commun
Le PPCM est le plus petit entier positif qui est multiple de tous les nombres donnés. Il est très utile quand on cherche un dénominateur commun ou un instant où plusieurs cycles se retrouvent ensemble.Quand utiliser le PPCM ?
- Pour additionner ou comparer des fractions avec des dénominateurs différents.
- Pour synchroniser des événements périodiques : sonneries, rotations, passages, etc.
- Pour trouver un multiple commun minimal à plusieurs entiers.
Méthode d’Euclide
La méthode d’Euclide est la façon la plus rapide de calculer le PGCD de deux entiers.
Exemple avec 48 et 18 :
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
Donc PGCD(48,18) = 6.
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
Donc PGCD(48,18) = 6.
Méthode par facteurs premiers
On peut aussi décomposer les nombres en facteurs premiers, ce qui est pratique pour comprendre la différence entre PGCD et PPCM.
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
PGCD : on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant → 2 × 3 = 6
PPCM : on garde tous les facteurs avec le plus grand exposant → 2³ × 3² = 72
24 = 2³ × 3
PGCD : on garde les facteurs communs avec le plus petit exposant → 2 × 3 = 6
PPCM : on garde tous les facteurs avec le plus grand exposant → 2³ × 3² = 72
Exemples rapides
| Entrée | PGCD | PPCM | Utilité typique |
|---|---|---|---|
| 12 et 18 | 6 | 36 | Simplifier 12/18 |
| 18 et 24 | 6 | 72 | Dénominateur commun |
| 12, 18, 30 | 6 | 180 | Cas à 3 nombres |
| 8 et 14 | 2 | 56 | Paquets identiques |
| 21 et 28 | 7 | 84 | Cycles et multiples |
| 7 et 11 | 1 | 77 | Nombres premiers entre eux |
| 0 et 18 | 18 | 0 | Cas particulier |
PGCD ou PPCM : comment choisir ?
- Vous voulez diviser, simplifier ou partager en parts égales → PGCD.
- Vous voulez un multiple commun, un dénominateur commun ou une synchronisation → PPCM.
- Vous travaillez avec des fractions → souvent PGCD pour simplifier, PPCM pour additionner.
Erreurs fréquentes
- Confondre “diviseur” et “multiple”.
- Utiliser des nombres décimaux au lieu d’entiers.
- Oublier que le PGCD est pris positif par convention.
- Ne pas distinguer le cas particulier de 0.