Calcul : plus grand diviseur commun (PGCD) et plus petit multiple commun (PPCM). Entiers, plusieurs valeurs possibles.
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- PGCD (diviseur commun)
- PPCM (multiple commun)
- Deux nombres ou une liste
- Algorithme d’Euclide
PGCD : plus grand diviseur commun
Le
PGCD de deux entiers est le plus grand entier positif qui divise les deux nombres. Il sert notamment à
simplifier des fractions et à résoudre des problèmes de partage en parts égales.
Méthode (Euclide)
On applique des divisions successives : a = b × q + r. Puis on recommence avec (b, r). Quand r = 0, le dernier b non nul est le PGCD.
PPCM : plus petit multiple commun
Le
PPCM est le plus petit entier positif qui est multiple des deux nombres. Il est utile pour
additionner des fractions (même dénominateur), synchroniser des périodes, etc.
Formule fiable
Pour deux nombres a et b :
PPCM(a,b) = |a × b| / PGCD(a,b). Cette relation est simple et robuste.
Exemples (8)
| Entrée | PGCD | PPCM |
|---|
| 12 et 18 | 6 | 36 |
| 8 et 14 | 2 | 56 |
| 21 et 28 | 7 | 84 |
| 9 et 15 | 3 | 45 |
| 24 et 36 | 12 | 72 |
| 7 et 11 | 1 | 77 |
| 0 et 18 | 18 | 0 |
| -12 et 18 | 6 | 36 |
Erreurs fréquentes
- Confondre PGCD (divise) et PPCM (multiple).
- Oublier la valeur absolue dans la formule du PPCM.
- Utiliser des nombres non entiers (PGCD/PPCM s’appliquent aux entiers).
FAQ
Comment calculer un PGCD ?
La méthode la plus rapide est l’algorithme d’Euclide : on remplace (a,b) par (b, a mod b) jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier b non nul est le PGCD.
Comment calculer un PPCM ?
Pour deux nombres a et b, PPCM(a,b) = |a × b| / PGCD(a,b). Si l’un des deux vaut 0, le PPCM vaut 0.
Peut-on calculer PGCD/PPCM pour plus de deux nombres ?
Oui. On calcule de proche en proche : PGCD(a,b,c) = PGCD(PGCD(a,b), c) et pareil pour le PPCM.
Pourquoi c’est utile pour les fractions ?
Le PGCD permet de simplifier une fraction. Le PPCM permet de mettre des fractions au même dénominateur avant de les additionner.
