Comment calculer une racine carrée
La racine carrée de x, notée √x, est le nombre positif qui multiplié par lui-même donne x. Par exemple, √49 = 7 parce que 7 × 7 = 49. Si x n’est pas un carré parfait, le résultat est souvent une approximation décimale.Résultat exact ou approximation ?
Il faut distinguer :- un résultat exact, comme √49 = 7 ou √50 = 5√2 ;
- une approximation, comme √50 ≈ 7,071068.
Comment simplifier une racine carrée
Pour simplifier une racine, on cherche les carrés parfaits cachés dans le radicande.
Exemples :
√12 = √(4 × 3) = 2√3
√18 = √(9 × 2) = 3√2
√50 = √(25 × 2) = 5√2
√72 = √(36 × 2) = 6√2
√12 = √(4 × 3) = 2√3
√18 = √(9 × 2) = 3√2
√50 = √(25 × 2) = 5√2
√72 = √(36 × 2) = 6√2
Encadrer une racine carrée
L’encadrement aide à estimer rapidement une racine carrée sans calculatrice.
Si 49 ≤ 50 < 64, alors 7² ≤ 50 < 8², donc 7 ≤ √50 < 8.
Cette méthode est très utile pour comprendre si une valeur est “plus proche de 7” ou “plus proche de 8”.
Racines fréquentes et formes simplifiées
| Radicande | Forme simplifiée | Approximation |
|---|---|---|
| 2 | √2 | 1,414214 |
| 3 | √3 | 1,732051 |
| 5 | √5 | 2,236068 |
| 8 | 2√2 | 2,828427 |
| 12 | 2√3 | 3,464102 |
| 18 | 3√2 | 4,242641 |
| 20 | 2√5 | 4,472136 |
| 27 | 3√3 | 5,196152 |
| 50 | 5√2 | 7,071068 |
| 72 | 6√2 | 8,485281 |
Exemples scolaires
- √49 = 7 : carré parfait, résultat exact.
- √12,25 = 3,5 : racine exacte d’un nombre décimal positif.
- √0,04 = 0,2 : attention à la virgule décimale.
- √(-9) : impossible en nombres réels.
Erreurs fréquentes
- Confondre √(a + b) avec √a + √b : c’est faux en général.
- Oublier que la racine carrée principale est positive : √49 = 7, pas -7.
- Donner uniquement une approximation quand l’exercice demande une forme simplifiée exacte.
- Essayer de calculer la racine carrée d’un nombre négatif en restant dans les réels.