Comment utiliser Pythagore
Le théorème de Pythagore s’applique
uniquement aux
triangles rectangles (un angle à 90°). On note généralement :
- a et b : les deux catètes (les côtés de l’angle droit)
- c : l’hypoténuse (le plus grand côté, en face de l’angle droit)
Formules à retenir
- c² = a² + b²
- c = √(a² + b²)
- a = √(c² - b²)
- b = √(c² - a²)
Exemples (8 cas)
| Cas |
Données |
Résultat |
| Hypoténuse |
a = 3, b = 4 |
c = √(9 + 16) = 5 |
| Hypoténuse |
a = 5, b = 12 |
c = 13 |
| Hypoténuse |
a = 8, b = 15 |
c = 17 |
| Catète |
c = 13, b = 5 |
a = √(169 - 25) = 12 |
| Catète |
c = 10, a = 6 |
b = √(100 - 36) = 8 |
| Diagonale rectangle |
L = 5, l = 3 |
d = √(25 + 9) = 5,831 |
| Diagonale écran |
Largeur 48, hauteur 27 |
d = √(48² + 27²) = 55,073 |
| Unités |
a = 2 m, b = 30 cm |
Convertir : 2 m = 200 cm, puis calculer |
Erreurs fréquentes
- Mettre l’hypoténuse au mauvais endroit : c est toujours le plus grand côté.
- Utiliser Pythagore sur un triangle non rectangle.
- Unités différentes : mélange m et cm sans conversion.
- Essayer de calculer un catète avec c ≤ autre côté : impossible (racine d’un nombre négatif).
Pour d’autres calculs :
surface,
volume,
périmètre.
Théorème, réciproque et conditions d’utilisation
Le théorème calcule une longueur lorsque le triangle est déjà connu comme rectangle. Sa réciproque sert à vérifier qu’un triangle est rectangle : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors l’angle opposé au plus grand côté est droit.
Exemple : pour 6, 8 et 10, on a 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Le triangle est rectangle. Si l’égalité n’est pas exacte à cause de mesures arrondies, il faut tenir compte de la précision des données avant de conclure.
Quand Pythagore ne suffit pas
Avec un triangle non rectangle, utilisez plutôt la loi des cosinus. Avec un angle et une longueur dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques peuvent être plus directes.
Calculer une diagonale et contrôler un angle droit
Dans un rectangle de 3 m sur 4 m, la diagonale mesure 5 m. Ce triplet 3-4-5 sert aussi sur un chantier : en reportant des longueurs proportionnelles sur deux côtés, une diagonale correspondante permet de contrôler approximativement l’équerrage.
Avec des mesures réelles, l’égalité peut ne pas être parfaite à cause de la précision du mètre ou de l’arrondi. Comparez alors l’écart à la tolérance du projet au lieu de déclarer automatiquement le triangle rectangle. Le théorème établit une relation mathématique ; la qualité de la conclusion dépend toujours de celle des mesures saisies.
Références, preuves et limites
Ce que les sources permettent d’établir : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. La page distingue calcul d’un côté et test de la réciproque.
Périmètre et limites : La relation exacte suppose un triangle rectangle et des longueurs dans la même unité. Avec des mesures arrondies, une égalité presque vérifiée ne constitue pas à elle seule une preuve.
À vérifier ensuite : Identifiez d’abord l’hypoténuse, gardez les carrés sans arrondi intermédiaire, puis contrôlez que la longueur trouvée est cohérente avec le plus grand côté.
